№ 143 Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 ч. Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через два часа после отправления первого поезда. Найдите скорость каждого из них. Решение: Пусть х км/ч скорость 1 поезда, у км/ч - скорость второго поезда, тогда (х + у) км/ч - скорость сближения. Математическая модель первого предложения: 5(х + у) = 700. "если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого" - за 7 ч второй поезд проедет 7у км, значит поездам останется проехать (700 - 7у) км. Математическая модель второго предложения: 2(х + у) = 700 - 7у Решите систему: { | х + у = 140, | 2(х + у) = 700 - 7у. |
№ 147Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа. Решение: Пусть х - первое число, у - второе число, тогда "их сумма равна 46" - (х + у) = 46, "сумма их квадратов" - х2 + у2 = 1130
Решите систему: { | (х + у) = 46, | х2 + у2 = 1130. |
№ 151Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше произведения цифр? Пусть х - количество десятков, у - количество единиц, тогда сумма цифр (х + у), произведение - ху, само число - (10х +у) Решите систему: { | (10х +у) = 4(х + у) | (10х +у) = 3ху |
№ 155 Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника. Пусть х и у - смежные стороны прямоугольника, периметр прямоугольника Р = 2(х + у), диагональ прямоугольника разбивает его на два равных прямоугольных треугольника и является гипотенузой каждого из них (За что мы любим прямоугольные треугольники?) по теореме Пифагора: х2 + у2 = 100 Решите систему: { | 2(х + у) = 28, | х2 + у2 = 100 |
№ 159 Турист проплыл на лодке по реке из города А в город В и обратно за 7 часов. Найдите скорость течения реки, если известно, что турист проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению, а расстояние между городами равно 20 км. Пусть х - скорость течения реки, у - собственная скорость лодки, тогда скорость лодки по течению - (х + у), против течения - (х - у). 2 км против течения лодка проплывала за 2/(х - у), 20 км против течения за 20/(х - у), 5 км по течению - 5/(х + у), 20 км по течению за 20/(х + у) Решите систему: { | 20/(х - у) + 20/(х + у) = 7 | 2/(х - у) = 5/(х - у) |
№ 163 В колледже для проведения письменного экзамена по математике было заготовлено 400 листов бумаги. Но на экзаменах по предыдущим предметам отсеялось 20 человек, поэтому каждому абитуриенту смогли дать на 1 лист бумаги больше, чем предполагалось. Сколько человек сдавало экзамен по математике. Пусть х человек сдавало письменный экзамен по математике, у листов бумаги им выдали, тогда до отсеивания абитуриентов было (х + 20) и им должны были дать (у - 1) листов бумаги. Общее количество заготовленной бумаги равно произведению количества человек на количество листов бумаги на каждого из них. Решите систему: { | ху = 400 | (х + 20)(у - 1) = 400
|
№ 167 Чан наполняется двумя кранами при совместной работе за 1 час. Наполнение чана только через первый кран длится вдвое дольше, чем через второй кран. За какой промежуток времени каждый кран отдельно может наполнить чан?
| V (производительность, т.е. скорость работы) | t (время) | A (выполненая работа А = V*t) | 1 кран | 1/х | х | 1 | 2 кран | 1/у | у | 1 | вместе | 1/х + 1/у | 1 | 1 |
№ 171 Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число. Пусть х - количество десятков, у - количество единиц, тогда сумма квадратов цифр (х2 + у2), само число - (10х +у), число записанное в обратном порядке - (10у +х) Решите систему: { | х2 + у2 = 13 | (10х +у) - 9 = 10у +х | В ответ записать результат вычисления (10х + у) (найти х, у; подставить; посчитать)
№ 175 Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число.
Делимое = частное*делитель + остаток
Решите систему: { | 10х +у = 7(х + у) + 6, | 10х +у = 3ху + (х + у) | В ответ записать результат вычисления (10х + у) (найти х, у; подставить; посчитать)
№ 186 Двое учеников вымыли крышки столов в классе за 6 ч. Если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем второй остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 12,5 ч. За какое время мог выполнить работу каждый в отдельности?
| V (производительность, т.е. скорость работы) | t (время) | A (выполненая работа А = V*t) | 1 ученик | 1/х | х | 1 | 2 ученик | 1/у | у | 1 | вместе | 1/х + 1/у | 6 | 1 | Составим математическую модель 2 предложения: | 1 ученик | 1/х | х/2 | 1/2 | 2 ученик | 1/у | у/2 | 1/2 |
Решите систему: { | 1/х + 1/ у = 1/6 | х/2 + у/2 = 12,5 |
№ 186 При смешивании 40% - ного раствора соли с 10% - ным раствором получили 800 г раствора с концентрацией соли 21,25%. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято? |